2022年5月21日算数

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「すらすら解ける魔法ワザ 算数・図形問題」を私が勉強しています。

「すらすら解ける魔法ワザ 算数・図形問題」は、4つのチャプターから構成されています。かなりざっくりした分け方ですが、求積の解法と裏技、辺の比と面積比の解法と裏技、立体図形の解法と裏技、角の解法と裏技となっています。1つの解法あたり基本問題が1題、練習問題が3題、実践問題が1題掲載されています。

今日は、引き続き、「Chapter1 求積の13解法プラス5つの裏技」です。今回は5つの裏技についてで、具体的には、三平方の定理、ヒポクラテスの三日月、ピックの定理、おうぎ形とせんす形の面積でした。

「三平方の定理」は、中学校の数学で習う直角三角形の辺の長さに関する定理ですね。直角三角形の短い辺、間の辺、長い辺の比に特別な関係があるというものです。さすがにルートは出てきませんが、「3:4:5」と「5:12:13」が紹介されていました。調べてみると、他にも「7:24:25」という比もキリのよい関係として知られているようでした。中学受験には中学校の範囲は含まれないとか言われていますが、例外があるということですね。

「ヒポクラテスの三日月」は、直角三角形の短い辺と間の長さの辺に接する三日月型の図形の面積の輪が、直角三角形の面積と等しくなるという性質ですね。下剋上受験で有名な桜井信一さんの著書でも取り上げられていた記憶があります。証明が載っていましたが、よくわからなかったので結局調べました。ネットではとても沢山の人がヒポクラテスの三日月を証明していて、主に高校生向けだったようですが、わかりやすいものもあり、とても助かりました。

「ピックの定理」は、格子状の図形の面積を計算するための公式です。この定理は初めて知りました。そして、証明を調べてみたら、難しくてよくわかりませんでした。これ、子どもたちは証明含めて理解しているのですかね。でも、どんなに複雑な図形でも計算できてしまうようです。すごい定理ですね。

「おうぎ形の面積の特別な求め方」は、弧の長さと半径がわかっていると、中心角がわからなくてもおうぎ形の面積を計算できるという裏技でした。「おうぎ形の面積＝弧の長さ×半径÷2」で計算することができます。順を追って考えていくと、以下のようになりますね。

「おうぎ形の面積＝弧の長さ×半径÷2」
→「おうぎ形の面積＝直径×円周率×（中心角÷360）×半径÷2」
→「おうぎ形の面積＝2×半径×円周率×（中心角÷360）×半径÷2」
→「おうぎ形の面積＝半径×半径×円周率×（中心角÷360）」

「せんす形の面積の特別な求め方」は、上記と同様に、大きな弧と小さな弧が重なっている時に、大きな弧と小さな弧の長さの差を利用する裏技です。結論として、せんす形の面積は大きな弧と小さな弧の長さを上底と下底とみなし、それぞれの半径の差を高さと考え、台形として扱って求積するものでした。裏技は問題が1問しか無いので、すぐに忘れてしまいそうです。

娘が通塾を開始する2021年2月まで、あと163日です。娘が質問で先生の行列に並んで睡眠時間を減らさなくて済むように、また、娘のためにいずれ過去問を分析できるようになるためがんばります！

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